Question

在平面直角坐标系xoy中，椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．以O为圆心，a为半径作圆M，若过点P（a，2b）所作圆M的两条切线为PA、PB，且|AB|=2b，则该椭圆的离心率为

1

2

．

Answer 1

分析：由题设知|PA|=|PB|=|AB|=2b，连接PM，则∠APM=30°，PA⊥MA，故|PM|=2|MA|=2a，由此能求出该椭圆的离心率．

解答：解：∵椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．以O为圆心，a为半径作圆M，
过点P（a，2b）所作圆M的两条切线为PA、PB，且|AB|=2b，
∴|PA|=|PB|=|AB|=2b，
连接PM，则∠APM=30°，PA⊥MA，
∴|PM|=2|MA|=2a，
∵|PM|=

a2+4b2

，
∴2a=

a2+4b2

，
解得a=

2 3

3

b，c=

3

3

b，
∴该椭圆的离心率e=

c

a

=

1

2

．
故答案为：

1

2

．

点评：本题考查椭圆的离心率的求法，具体涉及到椭圆和圆的简单性质，直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．