Question

(本题满分14分) 已知是方程的两个不等实根，函数的定义域为．

⑴当时，求函数的值域；

⑵证明：函数在其定义域上是增函数；

⑶在（1）的条件下，设函数，

若对任意的，总存在，使得成立，

求实数的取值范围．

 

Answer 1

【答案】

⑴；⑵只需证>0．⑶。

【解析】

试题分析：（1）

……………4分

（2）

∵是方程的两个不等实根

即是方程（抛物线开口向下，两根之内的函数值必为正值）

∵当……………7分

∴

∴>0．

∴函数在其定义域上是增函数……………9分

（3）由题意知：g（x）的值域是f（x）值域的子集。

由（1）知，f（x）的值域是，

，

x			-m		m
		+	0	-	0	+
		递增	极大值g（-m）	递减	极小值g（m）	递增

显然，

∴欲使g（x）的值域是f（x）值域的子集

只需

解得：……………14分

考点：二次方程；函数的定义域；函数的值域；利用导数来研究函数的单调性和极值。

点评：做本题的关键是分析出“在（1）的条件下，设函数， 若对任意的，总存在，使得成立”的含义，其含义为“（x）的值域是f（x）值域的子集”。