Question

已知双曲线的左、右焦点分别为、，过点的动直线与双曲线相交于两点.

（I）若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程；

（II）在轴上是否存在定点，使·为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

解：由条件知，，设，.

解法一：（I）设，则，，

，由得

即

于是的中点坐标为.

当不与轴垂直时，，即.

又因为两点在双曲线上，所以，，两式相减得

，即.

将代入上式，化简得.

当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程.

所以点的轨迹方程是.

（II）假设在轴上存在定点，使为常数.

当不与轴垂直时，设直线的方程是.

代入有.

则是上述方程的两个实根，所以，，

于是

.

因为是与无关的常数，所以，即，此时=.

当与轴垂直时，点的坐标可分别设为、，

此时.

故在轴上存在定点，使为常数.

解法二：（I）同解法一的（I）有①

当不与轴垂直时，设直线的方程是.

代入有.

则是上述方程的两个实根，所以.②

. ③

由①、②、③得.…………………………………………………④

.……………………………………………………………………⑤

当时，，由④、⑤得，，将其代入⑤有

.整理得.

当时，点的坐标为，满足上述方程.

当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程.

故点的轨迹方程是.

（II）假设在轴上存在定点点，使为常数，

当不与轴垂直时，由（I）有，.

以下同解法一的（II）.