Question

在直角坐标平面中，△ABC的两个顶点A，B的坐标分别为A（-1，0）B（1，0），平面内两点G，M同时满足下列条件：①++=；②||=||=||；③∥．
（1）求△ABC的顶点C的轨迹方程；
（2）过点P（3，0）的直线l与（1）中轨迹交于不同的两点E，F，求△OEF面积的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）分别设出点C、G、M的坐标，利用条件||=||求出M的横坐标，结合∥可得G和M的纵坐标相等，然后利用把G和M的坐标用C的坐标表示，代入||=||即可得到C的轨迹方程；
（2）设出直线l的方程，和椭圆方程联立后化为关于x的一元二次方程，利用根与系数关系得到E、F两点的横坐标的和与积，写出面积后得到关于直线斜率k的表达式，利用换元法降幂，然后利用导数求最值．
解答：（1）解：设C（x，y），G（x，y），M（x_M，y_M）．
∵，
∴M点在线段AB的中垂线上．由已知A（-1，0），B（1，0），∴x_M=0．
又∵，∴y_M=y．又，
∴（-1-x，-y）+（1-x，-y）+（x-x，y-y）=（0，0）
∴，∴． 
∵|MB|=|MC|，∴，
∴（y≠0），∴顶点C轨迹方程为（y≠0）．
（2）设直线l方程为：y=k（x-3）（k≠0），E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
由，消去y得：（k²+3）x²-6k²x+9k²-3=0   ①
∴，． 
由方程①知△=（6k²）²-4（k²+3）（9k²-3）＞0，
∴k²＜，∵k≠0，∴0＜k²＜．  
而=
=．
令k²=t，则，．记，
求导后可得当时△OEF面积有最大值为．
点评：本题考查了向量在几何中的应用，是直线与圆锥曲线的综合题，训练了“设而不求”的解题思想方法，训练了换元法，考查了导数在求最值中的作用，该题涉及条件多，解答的关键是找准入手点，是有一定难度题目．