Question

【题目】已知椭圆：的离心率，若椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上一动点和，组成的面积最大为.

（1）求椭圆的方程；

（2）若存在直线：和椭圆相交于不同的两点，，且原点与，连线的斜率之和满足：.求直线的斜率的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或

【解析】

（1）根据椭圆图形可知，椭圆上一动点和，组成的面积最大为，有条件可得，再由离心率，结合的平方关系，即可求解；

（2）直线方程与椭圆方程联立，消元，整理，得到，

，得到，①，设，，根据韦达定理，可得关系，再由已知，得到，代入①消去，求出的范围.

（1）由题可知，的面积最大为.

由，可得，，椭圆的方程：.

（2）设，，将：代入：，

整理得到，

由判别式，

得，①

由韦达定理得，，

而，

将韦达定理代入得，再代入①中，消去，可得，

解得斜率的取值范围为或.