Question

已知椭圆C的中心为坐标原点O，一个长轴端点为（0，1），短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，若直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于不同的两点A、B，且．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率及其标准方程；
（Ⅱ）求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由题意可知椭圆C为焦点在y轴上的椭圆，可设，由条件知a=1且b=c，又有a²=b²+c²，由此能求出椭圆C的离心率和标准方程．
（Ⅱ）设l与椭圆C交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由，由根的判别式和韦达定理知，由此能求出m的取值范围．
解答：解：（Ⅰ）由题意可知椭圆C为焦点在y轴上的椭圆，
可设，
由条件知a=1且b=c，又有a²=b²+c²，
解得
故椭圆C的离心率为，
其标准方程为：
（Ⅱ）设l与椭圆C交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由
△=（2km）²-4（k²+2）（m²-1）=4（k²-2m²+2）＞0（*），

∵
∴-x₁=3x₂，
∴
由此，得3（x₁+x₂）²+4x₁x₂=0，
∴
整理得4k²m²+2m²+k²-2=0，
，上式不成立；
，
因k≠0
∴，
∴
容易验证k²＞2m²-2成立，所以（*）成立
即所求m的取值范围为（-1，-）∪（，1）
点评：本题考查椭圆的离心率及其标准方程，求实数m的取值范围．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，灵活运用椭圆合理进行等价转化．