题目内容

已知f1（x）=sin2x，记fn+1（x）=fn′（x），（n∈N*），则f1(
π
6
)+f2(
π
6
)+…+f2 012(
π
6
)=
 
．
分析：根据题目给出的f1（x），依次求导得到f2（x），f3（x），…，然后把sin
π
3
和cos
π
3
的值代入，得到要求的和式是以1为首项，以-4为公比的等比数列的前1006项和，运用等比数列前n项和公式即可求解．
解答：解：∵f1（x）=sin2x，
∴f2（x）=f1′（x）=（sin2x）′=2cos2x，f3（x）=f2′（x）=（2cos2x）′=-4sin2x，


f4（x）=f3′（x）=（-4sin2x）′=-8cos2x，f5（x）=f4′（x）=（-8cos2x）′=16sin2x，…


∵sin2×
π
6
=sin
π
3
=
3
2
，cos2×
π
6
=cos
π
3
=
1
2
，
∴f1(
π
6
)+f2(
π
6
)+…+f2 012(
π
6
)=
3
2
+2×
1
2
-22×
3
2
-23×
1
2
+24×
3
2
+…-22011×
1
2

=（
3
2
-22×
3
2
+24×
3
2
-…-22010×
3
2
）+（2×
1
2
-23×
1
2
+25×
1
2
-…-22011×
1
2
）

=
1×[1-(-4)1006]
1-(-4)
×
3
2
+
2×[1-(-4)1006]
1-(-4)
×
1
2
=
1-22012
5
×(
3
+2
2
)=
3
+2
10
(1-22012)
故答案为
3
+2
10
(1-22012)
点评：本题考查了导数的运算，数列的求和，考查了学生分析和发现问题的能了，考查了运算能力，本题属中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知f1（x）=|3x-1|，f2（x）=|a•3x-9|（a＞0），x∈R，且f(x)=
f1(x)     f1(x)≤f2(x)   
f2(x)     f1(x)＞f2(x)
．
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）当2≤a＜9时，设f（x）=f2（x）所对应的自变量取值区间的长度为l（闭区间[m，n]的长度定义为n-m），试求l的最大值；
（Ⅲ）是否存在这样的a，使得当x∈[2，+∞）时，f（x）=f2（x）？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
已知f1（x）=sinx+cosx，且f2（x）=f1′（x），f3（x）=f2′（x），…，fn（x）=fn-1′（x），…（n∈N*，n≥2），则f1(
π
4
)+f2(
π
4
)+…+f2011(
π
4
)=
 
．
已知函数f(x)=4sin2x•sin2(x+
π
4
)+cos4x．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若g(x)=f(x+φ)，(-
π
2
＜φ＜
π
2
)在x=
π
3
处取得最大值，求φ的值；
（Ⅲ）求y=g（x）的单调递增区间．
已知f1（x）=ax，f2（x）=xa，f3（x）=logax，（a＞0且a≠1），在同一坐标系中画出其中两个函数在第Ⅰ象限的图象，正确的是（　　）
已知f1（x）=3|x-1|，f2（x）=a•3|x-2|，（x∈R，a＞0）．函数f（x）定义为：对每个给定的实数x，f(x)=
f1(x)    f1(x)≤f2(x) 
f2(x)    f1(x)＞f2(x) 

（1）若f（x）=f1（x）对所有实数x都成立，求a的取值范围；
（2）设t∈R，t＞0，且f（0）=f（t）．设函数f（x）在区间[0，t]上的单调递增区间的长度之和为d（闭区间[m，n]的长度定义为n-m），求
d
t
；
（3）设g（x）=x2-2bx+3．当a=2时，若对任意m∈R，存在n∈[1，2]，使得f（m）≥g（n），求实数b的取值范围．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网