题目内容
已知f1（x）=|3x-1|，f2（x）=|a•3x-9|（a＞0），x∈R，且f(x)=
|
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）当2≤a＜9时，设f（x）=f2（x）所对应的自变量取值区间的长度为l（闭区间[m，n]的长度定义为n-m），试求l的最大值；
（Ⅲ）是否存在这样的a，使得当x∈[2，+∞）时，f（x）=f2（x）？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
分析：（Ⅰ）本问中要代入a=1后，注意f1（x）与f2（x）的大小比较，以便于求出f（x）的解析式，进而利用函数的导数概念解决问题．
（Ⅱ）本问中借鉴上问（1）的解题思想，由具体到一般，方法依然是针对a的范围条件，作差比较出f1（x）与f2（x）的大小，
在2≤a＜9时，自变量x取哪些值时f（x）=f2（x），进而确定求出f（x）的解析式，对参数的讨论要结合具体的数值，从直观到抽象采取分类策略．
（Ⅲ）本问利用（2）的结论容易求解，需要注意的是等价转化思想的应用，分类讨论思想重新在本问中的体现．
（Ⅱ）本问中借鉴上问（1）的解题思想，由具体到一般，方法依然是针对a的范围条件，作差比较出f1（x）与f2（x）的大小，
在2≤a＜9时，自变量x取哪些值时f（x）=f2（x），进而确定求出f（x）的解析式，对参数的讨论要结合具体的数值，从直观到抽象采取分类策略．
（Ⅲ）本问利用（2）的结论容易求解，需要注意的是等价转化思想的应用，分类讨论思想重新在本问中的体现．
解答：解：（Ⅰ）当a=1时，f2（x）=|3x-9|．
因为当x∈（0，log35）时，f1（x）=3x-1，f2（x）=9-3x，
且f1（x）-f2（x）=2•3x-10＜2•3log35-10=2•5-10=0，
所以当x∈（0，log35）时，f（x）=3x-1，且1∈（0，log35）（3分）
由于f'（x）=3xln3，所以k=f'（1）=3ln3，又f（1）=2，
故所求切线方程为y-2=（3ln3）（x-1），
即（3ln3）x-y+2-3ln3=0（5分）
（Ⅱ）因为2≤a＜9，所以0＜log3
≤log3
，则
①当x≥log3
时，因为a•3x-9≥0，3x-1＞0，
所以由f2（x）-f1（x）=（a•3x-9）-（3x-1）=（a-1）3x-8≤0，解得x≤log3
，
从而当log3
≤x≤log3
时，f（x）=f2（x）（6分）
②当0≤x＜log3
时，因为a•3x-9＜0，3x-1≥0，
所以由f2（x）-f1（x）=（9-a•3x）-（3x-1）=10-（a+1）3x≤0，解得x≥log3
，
从而当log3
≤x＜log3
时，f（x）=f2（x）（7分）
③当x＜0时，因为f2（x）-f1（x）=（9-a•3x）-（1-3x）=8-（a-1）3x＞0，
从而f（x）=f2（x）一定不成立（8分）
综上得，当且仅当x∈[log3
，log3
]时，f（x）=f2（x），
故l=log3
-log3
=log3[
(1+
)]（9分）
从而当a=2时，l取得最大值为log3
（10分）
（Ⅲ）“当x∈[2，+∞）时，f（x）=f2（x）”
等价于“f2（x）≤f1（x）对x∈[2，+∞）恒成立”，
即“|a•3x-9|≤|3x-1|=3x-1（*）对x∈[2，+∞）恒成立”（11分）
①当a≥1时，log3
≤2，则当x≥2时，a•3x-9≥a•3log3
-9=0，
则（*）可化为a•3x-9≤3x-1，即a≤1+
，而当x≥2时，1+
＞1，
所以a≤1，从而a=1适合题意（12分）
②当0＜a＜1时，log3
＞2．
（1）当x＞log3
时，（*）可化为a•3x-9≤3x-1，即a≤1+
，而1+
＞1，
所以a≤1，此时要求0＜a＜1（（13分）
（2）当x=log3
时，（*）可化为0≤3x-1=
-1，
此时只要求0＜a＜9（14分）
（3）当2≤x＜log3
时，（*）可化为9-a•3x≤3x-1，即a≥
-1，而
-1≤
，
所以a≥
，此时要求
≤a＜1（15分）
由（1）（2）（3），得
≤a＜1符合题意要求．
综合①②知，满足题意的a存在，且a的取值范围是
≤a≤1（16分）
因为当x∈（0，log35）时，f1（x）=3x-1，f2（x）=9-3x，
且f1（x）-f2（x）=2•3x-10＜2•3log35-10=2•5-10=0，
所以当x∈（0，log35）时，f（x）=3x-1，且1∈（0，log35）（3分）
由于f'（x）=3xln3，所以k=f'（1）=3ln3，又f（1）=2，
故所求切线方程为y-2=（3ln3）（x-1），
即（3ln3）x-y+2-3ln3=0（5分）
（Ⅱ）因为2≤a＜9，所以0＜log3
| 9 |
| a |
| 9 |
| 2 |
①当x≥log3
| 9 |
| a |
所以由f2（x）-f1（x）=（a•3x-9）-（3x-1）=（a-1）3x-8≤0，解得x≤log3
| 8 |
| a-1 |
从而当log3
| 9 |
| a |
| 8 |
| a-1 |
②当0≤x＜log3
| 9 |
| a |
所以由f2（x）-f1（x）=（9-a•3x）-（3x-1）=10-（a+1）3x≤0，解得x≥log3
| 10 |
| a+1 |
从而当log3
| 10 |
| a+1 |
| 9 |
| a |
③当x＜0时，因为f2（x）-f1（x）=（9-a•3x）-（1-3x）=8-（a-1）3x＞0，
从而f（x）=f2（x）一定不成立（8分）
综上得，当且仅当x∈[log3
| 10 |
| a+1 |
| 8 |
| a-1 |
故l=log3
| 8 |
| a-1 |
| 10 |
| a+1 |
| 4 |
| 5 |
| 2 |
| a-1 |
从而当a=2时，l取得最大值为log3
| 12 |
| 5 |
（Ⅲ）“当x∈[2，+∞）时，f（x）=f2（x）”
等价于“f2（x）≤f1（x）对x∈[2，+∞）恒成立”，
即“|a•3x-9|≤|3x-1|=3x-1（*）对x∈[2，+∞）恒成立”（11分）
①当a≥1时，log3
| 9 |
| a |
| 9 |
| a |
则（*）可化为a•3x-9≤3x-1，即a≤1+
| 8 |
| 3x |
| 8 |
| 3x |
所以a≤1，从而a=1适合题意（12分）
②当0＜a＜1时，log3
| 9 |
| a |
（1）当x＞log3
| 9 |
| a |
| 8 |
| 3x |
| 8 |
| 3x |
所以a≤1，此时要求0＜a＜1（（13分）
（2）当x=log3
| 9 |
| a |
| 9 |
| a |
此时只要求0＜a＜9（14分）
（3）当2≤x＜log3
| 9 |
| a |
| 10 |
| 3x |
| 10 |
| 3x |
| 1 |
| 9 |
所以a≥
| 1 |
| 9 |
| 1 |
| 9 |
由（1）（2）（3），得
| 1 |
| 9 |
综合①②知，满足题意的a存在，且a的取值范围是
| 1 |
| 9 |
点评：本题考查分段函数的有关概念，函数求值的问题；对函数的导数的概念亦有所考查，含参数的数学问题的讨论，注重对分类讨论思想，数形结合思想的考查，考查了对近年来高考真题中出现的有关恒成立问题，存在性问题的求解策略，对函数知识的综合性解题能力有很高的要求，属于压轴题的题目难度．本题的求解策略是细读题意，精确分析采取有难到易，各点击破的思想，同时注意解题思想的应用．
练习册系列答案
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