题目内容

如图，在直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=4 $数学公式$ ，∠ACB=90°，AA₁=2，E、F分别是AC、AB的中点，过直线EF作棱柱的截面，若截面与平面ABC所成的二面角的大小为60°，则截面的面积为________．

$\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ （对一个给2分）
分析：根据截面与平面ABC所成的二面角的大小为60°，故需要分类讨论，利用截面为梯形，可以计算各边长，从而可求截面的面积．
解答：

解：由题意，分类讨论：
如右图，截面为MNFE，延长EM，CN，AA₁，交于点D
∵直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，E、F分别是AC、AB的中点
∴DE⊥EF
∴∠AED为截面与平面ABC所成的二面角
∴∠AED=60°
∵ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∵DA=6，∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴截面的面积为 $\text{[math]}$
设截面EFN'M'在底面中的射影为EFPQ，则EF= $\text{[math]}$ ，M'Q=2，CE= $\text{[math]}$ ，∠M'EQ=60°
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴射影EFPQ的面积为 $\text{[math]}$
∵截面与平面ABC所成的二面角的大小为60°
∴截面EFN'M'的面积为 $\text{[math]}$
故答案为： $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$
点评：本题以直三棱柱为载体，考查截面面积的计算，搞清截面图形是解题的关键．

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