Question

抛物线C的方程为y=ax²（a＜0），过抛物线C上一点P（x，y）（x≠0）作斜率为k₁，k₂的两条直线分别交抛物线C于A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）两点（P，A，B三点互不相同），且满足k₂+λk₁=0（λ≠0且λ≠-1）．
（Ⅰ）求抛物线C的焦点坐标和准线方程
（Ⅱ）设直线AB上一点M，满足=λ，证明线段PM的中点在y轴上．
（Ⅲ）当λ=1时，若点P的坐标为（1，-1），求∠PAB为钝角时点A的纵坐标y₁的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）数形结合，依据抛物线C的标准方程写焦点坐标和准线方程．
（2）先依据条件求出点M的横坐标，利用一元二次方程根与系数的关系，证明x_M+x=0．
（3）∠PAB为钝角时，必有•＜0．用k_1^表示y_1，^通过k_{1^{的范围来求y1的范围．}}
解答：解：（Ⅰ）由抛物线C的方程y=ax²（a＜0）得，焦点坐标为（0，），准线方程为y=-．
（Ⅱ）证明：设直线PA的方程为y-y=k₁（x-x），直线PB的方程为y-y=k₂（x-x）．
点P（x，y）和点A（x₁，y₁）的坐标是方程组的解．
将②式代入①式得ax²-k₁x+k₁x-y=0，于是x₁+x=，故x₁=-x₀ ③．
又点P（x，y）和点B（x₂，y₂）的坐标是方程组  的解．
将⑤式代入④式得ax²-k₂x+k₂x-y=0．于是x₂+x=，故x₂=-x．
由已知得，k₂=-λk₁，则x₂=--x． ⑥
设点M的坐标为（x_M，y_M），由=λ，可得 x_M=．
将③式和⑥式代入上式得x_M==-x，
即x_M+x=0．所以线段PM的中点在y轴上．
（Ⅲ）因为点P（1，-1）在抛物线y=ax²上，所以a=-1，抛物线方程为y=-x²．
由③式知x₁=-k₁-1，代入y=-x² 得 y₁=-（k₁+1）²．
将λ=1代入⑥式得   x₂=k₁-1，代入y=-x²得   y₂=-（k₂+1）²．
因此，直线PA、PB分别与抛物线C的交点A、B的坐标为A（-k₁-1，-k₁²-2k₁-1），B（k₁-1，-k₁²+2k₁-1）．
于是=（k₁+2，k₁²+2k₁），=（2k₁，4k₁），
•=2k₁（k₁+2）+4k₁（k₁²+2k₁）=2（k₁+2）（2+k₁1）．
因∠PAB为钝角且P、A、B三点互不相同，故必有•＜0．
求得k₁的取值范围是k₁＜-2，或-＜k₁＜0．
又点A的纵坐标y₁满足y₁=-（k₁+1）²，故当k₁＜-2时，y₁＜-1；当-＜k₁＜0时，-1＜y＜-．
即y₁∈（-∞，-1）∪（-1，-）．
点评：本题综合考查直线和圆锥曲线位置关系，训练学生的综合应用知识解决问题的能力，属于中档题．