Question

抛物线C的方程为y=ax²（a＜0），过抛物线C上一点P（x₀，y₀）（x₀≠0）作斜率为k₁，k₂的两条直线分别交抛物线C于
A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）两点（P，A，B三点互不相同），且满足k₂+λk₁=0（λ≠0且λ≠-1）．
（Ⅰ）求抛物线C的焦点坐标和准线方程；
（Ⅱ）设直线AB上一点M，满足

BM

=λ

MA

，证明线段PM的中点在y轴上．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由抛物线C的方程y=ax²（a＜0）得，焦点坐标为(0，

1

4a

)，准线方程为y=-

1

4a

．
（Ⅱ）设直线PA的方程为y-y₀=k₁（x-x₀），直线PB的方程为y-y₀=k₁（x-x₀）．点P（x₀，y₀）和点A（x₁，y₁）的坐标是方程组

y-y0=k1(x-x0)① y=ax2②

的解．于是x1+x0=

k1

a

，故x1=

k1

a

-x0，又点P（x₀，y₀）和点B（x₂，y₂）的坐标是方程组

y-y0=k2(x-x0)④ y=ax2⑤

的解．于是x2+x0=

k2

a

，故x2=

k2

a

-x0．由此能够证明线段PM的中点在y轴上．

解答：解：（Ⅰ）由抛物线C的方程y=ax²（a＜0）得，焦点坐标为(0，

1

4a

)，准线方程为y=-

1

4a

．
（Ⅱ）证明：设直线PA的方程为y-y₀=k₁（x-x₀），直线PB的方程为y-y₀=k₁（x-x₀）．
点P（x₀，y₀）和点A（x₁，y₁）的坐标是方程组

y-y0=k1(x-x0)① y=ax2②

的解．
将②式代入①式得ax²-k₁x+k₁x₀-y₀=0，于是x1+x0=

k1

a

，故x1=

k1

a

-x0③
又点P（x₀，y₀）和点B（x₂，y₂）的坐标是方程组

y-y0=k2(x-x0)④ y=ax2⑤

的解．
将⑤式代入④式得ax²-k₂x+k₂x₀-y₀=0．于是x2+x0=

k2

a

，故x2=

k2

a

-x0．
由已知得，k₂=-λk₁，则x2=-

λ

a

k1-x0．　　⑥
设点M的坐标为（x_M，y_M），由

BM

-λ

MA

，则xM=

x2+λx1

1+λ

．
将③式和⑥式代入上式得xM=

-x0-λx0

1+λ

=-x0，即x_M+x₀=0．
∴线段PM的中点在y轴上．

点评：本题考查抛物线的焦点坐标和准线方程的求法，证明线段PM的中点在y轴上．解题时要熟练掌握抛物线的性质，认真审题，合理地进行等价转化．