Question

在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB=CD=CF。

（Ⅰ）求证：BD⊥平面AED；
（Ⅱ）求二面角F-BD-C的余弦值。

Answer 1

解：（I）在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠DAB=60 °，CB=CD ，
由余弦定理可知，
即，
在中，∠DAB=60°，，
则为直角三角形，且。
又AE⊥BD，平面AED，平面AED，且，
故BD⊥平面AED；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，设，
则，
建立如图所示的空间直角坐标系，，
向量为平面的一个法向量
设向量为平面的法向量，
则，即，
取，则，
则为平面的一个法向量
，而二面角F-BD-C的平面角为锐角，
则二面角F-BD-C的余弦值为。