Question

在如图所示的几何体中，四边形ABCD、ADEF、ABGF均为全等的直角梯形，且BC∥AD，AB=AD=2BC．
（Ⅰ）求证：CE∥平面ABGF；
（Ⅱ）求二面角G-CE-D的余弦值．

Answer 1

分析：（1）连结BF，结合题意证出四边形BCEF是平行四边形，得CE∥BF．再利用线面平行判定定理，即可证出CE∥平面ABGF．
（2）建立如图所示空间直角坐标系，设AB=AD=AF=2，得BC=EF=1从而得出C、D、E、G的坐标，得出向量

CD

、

CE

、

CG

的坐标，利用垂直向量数量积为零的方法算出

m

=（1，2，1）是平面CDE的一个法向量，

n

=（1，1，1）是平面CEG的一个法向量，利用空间向量的夹角公式加以计算，即可得出二面角G-CE-D的余弦值．

解答：解：（Ⅰ）连结BF，由题意得
∵BC∥AD且BC=

1

2

AD，EF∥AD且EF=

1

2

AD，
∴四边形BCEF是平行四边形，得CE∥BF．
又∵CE?平面ABGF，BF?平面ABGF，
∴CE∥平面ABGF．
（II）分别以AB、AD、AF为x、y、z轴，建立如图所示空间直角坐标系
设AB=AD=AF=2，可得BC=EF=1
可得C（2，1，0），D（0，2，0），E（0，1，2），G（1，0，2）
∴

CD

=（-2，1，0），

CE

=（-2，0，2）
设

m

=（x，y，z）是平面CDE的一个法向量，
可得

m • CD =-2x+y=0 m • CE =-2x+2z=0

，取x=1，得y=2，z=1
∴

m

=（1，2，1），同理得到

n

=（1，1，1）是平面CEG的一个法向量
∵cos＜

m

，

n

＞=

m • n

|m| • |n|

=

1×1+2×1+1×1

6 • 3

=

2 2

3

∴结合题意二面角G-CE-D是钝二面角，可得二面角G-CE-D的余弦值为-

2 2

3

．

点评：本题求证线面平行，并求二面角的大小．着重考查了线面平行判定定理、利用空间坐标系研究二面的大小等知识，属于中档题．