Question

一个同心圆形花坛，分为两部分，中间小圆部分种植草坪和绿色灌木，周围的圆环分为n（n≥3,n∈N）等份，种植红、黄、蓝三色不同的花，要求相邻两部分种植不同颜色的花.

Answer 1

（1）如图（1），圆环分成的3等份为a₁，a₂，a₃，有多少不同的种植方法？如图（2），圆环分成的4等份为a₁，a₂，a₃，a₄，有多少不同的种植方法？

（2）如图（3），圆环分成的n等价为a₁，a₂，a₃，…，a₄时，有不同的种植方法为S（n）种，试写出S（n）与S（n-1）满足的关系式，并求出S（n）的值.

解析：（1）如图（1），先对a₁部分种植，有3种不同的种法，再对a₂、a₃种植，因为a₂、a₃与a₁不同颜色，a₂、a₃也不同，所以S（3）=3×2=6，如图（2），S（4）=3×2×2×2-S（3）=18.

（2）如图（3），圆环分为n等份，对a₁有3种不同的种法，对a₂，a₃，…，a_n都有两种不同的种法.但这样的种法只能保证a₁与a_i（i=2，3，…，n-1）不同颜色，但不能保证a₁与a_n不同颜色.

于是一类是a_n与a₁不同色的种法，这是符合要求的种法，记为S（n）另一类是a_n与a₁同色的种法.这时可以把a_n与a₁看成一部分，这样的种法相当于对n-1部分符合要求的种法，记为S（n-1）.

∴S(n)+S（n-1）=3×2^n-1

∴S(n)-2ⁿ=［S(3)-2³］(-1)^n-3

∴S(n)-2ⁿ=(6-8)(-1)^n-3=-2·（-1）^n-3

∴S(n)=2ⁿ-2·(-1)^n-3

答：符合要求的不同种法为2ⁿ-2·（-1）^n-3种.