Question

10．求下列函数的值域：
（1）y=$\sqrt{{x}^{2}+5}$；（2）y=x²-4x+6，1≤x＜5；
（3）y=-x⁴+x²$+\frac{1}{4}$，x∈R；（4）y=2x-$\sqrt{x-1}$；（5）y=$\frac{2x+1}{3x+5}$．

Answer 1

分析 （1）利用函数单调性求解，
（2）根据二次函数在闭区间上的最值求解
（3）换元转化为二次函数，注意新元的范围
（4）变形y=2（x-1）-$\sqrt{x-1}$+2利用换元法求解
（5）分离参数转化为反比例函数值域求解．

解答 解：（1）y=$\sqrt{{x}^{2}+5}$；
∵x²≥0，
∴x²+5≥5，
即y$≥\sqrt{5}$
值域为：[$\sqrt{5}$，+∞）
（2）y=x²-4x+6，1≤x＜5；
对称轴为：x=2，y_小=2²-2×4+6=2
利用二次函数的对称性得出：y_大=5²-4×5+6=11
值域为：[2，11]
（3）y=-x⁴+x²$+\frac{1}{4}$，x∈R，
设t=x²，t≥0
y=t²+t$+\frac{1}{4}$，x∈R
根据二次函数的性质得出：最小值为$\frac{1}{4}$
故值域为；[$\frac{1}{4}$，+∞）
（4）y=2x-$\sqrt{x-1}$=2（x-1）-$\sqrt{x-1}$+2
设t=$\sqrt{x-1}$≥0，
y=2t²-t+2．
根据二次函数的性质得出：对称轴x=$\frac{1}{4}$
最小值为：2×$\frac{1}{16}$$-\frac{1}{4}$+2=$\frac{15}{8}$，
故值域为：[$\frac{15}{8}$，+∞）
（5）y=$\frac{2x+1}{3x+5}$=$\frac{2}{3}$$-\frac{7}{3x+5}$
根据反比例函数的性质得出：
y=$\frac{7}{3x+5}$值域为：（-∞，0）∪（0+∞）
y=$\frac{2}{3}$$-\frac{7}{3x+5}$值域为：（-∞，$\frac{2}{3}$）∪（$\frac{2}{3}$+∞）
故值域为：（-∞，$\frac{2}{3}$）∪（$\frac{2}{3}$+∞）

点评 本题综合考察了常见函数的值域的求解方法，换元法，二次函数等求解，难度不大，属于中档题，熟练掌握函数性质最重要．