Question

【题目】已知函数.

（1）若，求的值；

（2）设，当时，的值域为，试求与的值；

（3）当时，记，如果对于区间上的任意三个实数、、，都存在以、、为边长的三角形，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）20；（2），；（3）.

【解析】

（1）根据对数的运算法则进行化简求解即可．

（2）根据复合函数单调性的关系进行求解．

（3）问题转化为2ymin＞ymax，然后利用对勾函数的单调性进行分类讨论求解即可．

（1）若f（x1x2）＝10，

则lognx1x2＝10，

则f（x12）+f（x22）＝lognx12+lognx22＝lognx12x22＝logn（x1x2）2＝2lognx1x2＝20．

（2）g（x）＝f（）＝lognlogn（）＝logn（1），

则y＝1在（1，+∞）上为减函数，

∵当x∈（m，n）时，g（x）的值域为（1，+∞），

∴m＝1，n＞1，

则函数g（x）在（m，n）上为减函数，

则g（n）＝1，即logn（1）＝1，得1n，即n﹣1，

得（n﹣1）2＝2，解得n﹣1＝±，则n＝1或n＝1（舍）．

（3）当n＝3时，记h（x）＝f﹣1（x）3x，（m＞0），

∵﹣1≤x≤0，∴设t＝3x，则t≤1，

即y＝t，（t≤1），由题意得在t≤1上恒有2ymin＞ymax即可．

①当0＜m时，函数h（x）在[，1]上递增，

ymax＝1+m，ymin＝3m．

由2ymin＞ymax得6m1+m，即5m，得m．此时．

②当时，h（x）在[，]上递减，在[，1]上递增，

ymax＝max{3m，1+m}＝1+m，ymax＝1+m，ymin＝2，

由2ymin＞ymax得41+m，得．此时．

③当m＜1时，h（x）在[，]上递减，在[，1]上递增，

ymax＝max{3m，1+m}＝3m，ymin＝2，

由2ymin＞ymax得43m，得．此时m＜1

④当m≥1时，h（x）在[，1]上递减，

ymax＝3m，ymin＝m+1，

由2ymin＞ymax得2m+2＞3m，得m．此时1≤m，

综上．