题目内容

如图11,已知在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,E是AC的中点,ED交AB的延长线于F.求证: =.

图11

思路分析:比例式左边AB、AC在△ABC中,右边DF、AF在△ADF中,这两个三角形不相似,因此本题需经过中间比进行代换.通过证明两对三角形分别相似证得结论.

证明:∵∠BAC =90°,AD⊥BC,?

∴∠ADB =∠ADC =∠BAC =90°.?

∴∠1+∠2=90°,∠2+∠C=90°.?

∴∠1=∠C.?

∴△ABD∽△CAD.∴=.?

又∵E是AC中点,∴DE =EC.?

∴∠3=∠C.?

又∵∠3=∠4,∠1=∠C,?

∴∠1=∠4.?

又∠F =∠F,∴△FBD∽△FDA.?

∴=.∴=.

练习册系列答案
相关题目
如图，已知点P为椭圆
x2
25
+
y2
9
=1在第一象限内的任意一点，过椭圆的右顶点A和上顶点B分别作与y轴和x轴的平行线交于C，过P引BC、AC的平行线交AC于N，交BC于M，交AB于D、E，矩形PMCN的面积是S1，三角形PDE的面积是S2，则S1：S2=
1
1
．
[选做题]在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内．
A．（选修4-1：几何证明选讲）
如图，圆O的直径AB=8，C为圆周上一点，BC=4，过C作圆的切线l，过A作直线l的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E，求线段AE的长．
B．（选修4-2：矩阵与变换）
已知二阶矩阵A有特征值λ1=3及其对应的一个特征向量α1=
1
1
，特征值λ2=-1及其对应的一个特征向量α2=
1
-1
，求矩阵A的逆矩阵A-1．
C．（选修4-4：坐标系与参数方程）
以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系（两种坐标系中取相同的单位长度），已知点A的直角坐标为（-2，6），点B的极坐标为(4，
π
2
)，直线l过点A且倾斜角为
π
4
，圆C以点B为圆心，4为半径，试求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程．
D．（选修4-5：不等式选讲）
设a，b，c，d都是正数，且x=
a2+b2
，y=
c2+d2
．求证：xy≥
(ac+bd)(ad+bc)
．
如图，已知点A（11，0），函数y=
x+1
的图象上的动点P在x轴上的射影为H，且点H在点A的左侧．设|PH|=t，△APH的面积为f（t）．
（Ⅰ）求函数f（t）的解析式及t的取值范围；
（Ⅱ）求函数f（t）的最大值．
选作题，本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．（几何证明选讲）
如图，AB是半圆的直径，C是AB延长线上一点，CD切半圆于点D，CD=2，DE⊥AB，垂足为E，且E是OB的中点，求BC的长．
B．（矩阵与变换）
已知矩阵
12
2a
的属于特征值b的一个特征向量为
1
1
，求实数a、b的值．
C．（极坐标与参数方程）
在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，-2）在曲线
x=2pt2
y=2pt
（t为参数，p为正常数），求p的值．
D．（不等式选讲）
设a1，a2，a3均为正数，且a1+a2+a3=1，求证：
1
a1
+
1
a2
+
1
a3
≥9．
附加题：（选做题：在下面A、B、C、D四个小题中只能选做两题）
A．选修4-1：几何证明选讲
如图，已知AB、CD是圆O的两条弦，且AB是线段CD的垂直平分线，
已知AB=6，CD=2
5
，求线段AC的长度．
B．选修4-2：矩阵与变换
已知二阶矩阵A有特征值λ1=1及对应的一个特征向量e1=
1
1
和特征值λ2=2及对应的一个特征向量e2=
1
0
，试求矩阵A．
C．选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程是
y=sinθ+1
x=cosθ
（θ是参数），若以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系中相同的单位长度，建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程．
D．选修4-5：不等式选讲
已知关于x的不等式|ax-1|+|ax-a|≥1（a＞0）．
（1）当a=1时，求此不等式的解集；
（2）若此不等式的解集为R，求实数a的取值范围．

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