Question

 已知函数满足,对于任意R都有,且 ,令.

求函数的表达式；

求函数的单调区间；

（3）研究函数在区间上的零点个数。

Answer 1

(1) 解：∵，∴.                                      … 1分        

         ∵对于任意R都有,

         ∴函数的对称轴为，即，得.         … 2分

        又，即对于任意R都成立，

         ∴,且．

　　　　∵，      ∴．

　　　　∴．                                            … 4分

  (2) 解：           … 5分

① 当时，函数的对称轴为，

若，即，函数在上单调递增；        … 6分

若，即，函数在上单调递增，在上单调递减．

                                                                   …7分

② 当时，函数的对称轴为，

　则函数在上单调递增，在上单调递减．  … 8分

综上所述，当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为；                                                    … 9分

当时，函数单调递增区间为和，单调递减区间为和．                                        … 10分

   (3)解：① 当时，由(2)知函数在区间上单调递增，

　　　　　又，

　　　　　故函数在区间上只有一个零点．                     … 12分

　　　　② 当时，则，而，

　　　　，

        （ⅰ）若，由于，

          且，

         此时，函数在区间上只有一个零点；                   … 14分

　　　　（ⅱ）若，由于且，此时，函数在区间 上有两个不同的零点．                        15分

　　  　综上所述，当时，函数在区间上只有一个零点；

　　　　当时，函数在区间上有两个不同的零点．  …… 16分