Question

如图，在长方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，E为AB的中点，F为CC₁的中点.

（1）证明：B F//平面E CD₁

（2）求二面角D₁—EC—D的余弦值.

 

Answer 1

【答案】

（1）证明：取CD₁中点G，连结FG得出且FG //BE；

由四边形FG EB为平行四边形得到BF //GE，证得B F//平面E CD₁；

（2）cos∠DED₁.

【解析】

试题分析：（1）证明：取CD₁中点G，连结FG

∵F为CC₁的中点.D₁  ∴且FG //C₁D₁

∵且AB //C₁D₁∴且FG //BE

∴四边形FG EB为平行四边形∴BF //GE   4分

∵平面E CD₁    平面E CD₁

∴B F//平面E CD₁   7分

（2）连结DE

∵AD=AA₁=1，AB="2" ,  E为AB的中点

∴   9分

∵平面ABCD   ∴E C

又  平面E DD₁    平面E DD₁

∴平面E DD₁

∴ E D₁   11分

∴∠DED₁为二面角D₁—EC—D的平面角.    12分

中  ∴中

∴cos∠DED₁   14分

考点：本题主要考查立体几何中的平行关系、垂直关系，角的计算。

点评：中档题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中，有“几何法”和“向量法”。利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤。解题过程中，注意转化成平面几何问题，是解决立体几何问题的一个基本思路。