Question

【题目】设， .

（1）若，求的单调区间；

（2）讨论在区间上的极值点个数；

（3）是否存在，使得在区间上与轴相切？若存在，求出所有的值；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）减区间为 ，增区间为 （2）见解析（3）

【解析】试题分析：（1）先求函数导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，确定单调区间（2）先求函数导数，转化为研究零点个数，利用二次求导易得在区间上单调递增，其零点个数决定于最小值的大小，讨论其最小值与零的大小得到极值点个数， （3）由题意得在区间上与轴相切切点为极值点，由（2）得 ，再根据极值点定义可得方程组 ，解得

试题解析：解：（1）当时：，（）

故

当时：，当时：，当时：．

故的减区间为：，增区间为

（2）

令，故,,

显然，又当时：．当时：．

故，，．

故在区间上单调递增，

注意到：当时，，故在上的零点个数由的符号决定．

①当，即：或时：在区间上无零点，即无极值点．

②当，即：时：在区间上有唯一零点，即有唯一极值点．

综上：当或时：在上无极值点．

当时：在上有唯一极值点．

（3）假设存在，使得在区间上与轴相切，则必与轴相切于极值点处，

由（2）可知：．不妨设极值点为，则有：

…（*）同时成立．

联立得：，即代入（*）可得．

令，．

则，，当 时 （2）．

故在上单调递减．又， ．

故在上存在唯一零点．

即当时，单调递增．当时，单调递减．

因为，．

故在上无零点，在上有唯一零点．

由观察易得，故，即：．

综上可得：存在唯一的使得在区间上与轴相切．