Question

△ABC的三边长分别是3，4，5，P为△ABC所在平面α外一点，它到三边的距离都是2，则P到α的距离为

3

．

Answer 1

分析：作PO⊥△ABC所在平面α于O，PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F．则OD=OE=OF，推导出O是RT△ABC的内切圆圆心，D，E，F是切点，半径r=OD=OE=OF=1，由此能求出P到α的距离．

解答：解：作PO⊥△ABC所在平面α于O，PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F．
则OD=OE=OF （三角形全等），
∵AB⊥PD，AB⊥PO，PD∩PO=P，
∴AB⊥面POD，
∴AB⊥OD，
同理BC⊥OE，AC⊥OF．
即O是RT△ABC的内切圆圆心，
D，E，F是切点．半径r=OD=OE=OF，
AF=AD=AB-BD=4-r，
CF=CE=CB-BE=3-r，
AC=AF+CF=4-r+3-r=5，
r=OD=OE=OF=1，
∴PO=

3

．
故答案为：

3

．

点评：本题考查点到平面的距离的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地化空间几何问题为平面几何问题．