Question

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面边长及侧棱长均为2，D是棱AB的中点，
（1）求证AC₁∥面CDB₁；
（2）求异面直线AC₁与B₁C所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）利用三角形的中位线定理和线面平行的判定定理即可证明；
（2）利用三角形的中位线定理先作出异面直线所成的角，再使用余弦定理即可求出．

解答：证明：（1）如图所示：
理解对角线BC₁、CB₁交于点M，连接MD．
∵侧面BB₁C₁C是正方形，∴BM=MC₁．
又BD=DA，∴DM∥AC₁．
又∵AC₁?平面CDB₁，DM?平面CDB₁．
∴AC₁∥平面CDB₁．
（2）由（1）可知：DM∥AC₁，∴∠DMB₁或其补角为异面直线AC₁与CB₁所成的夹角．
∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面边长及侧棱长均为2，
∴DM=

1

2

AC1=

1

2

×2

2

=

2

，MB1=

1

2

CB1=

1

2

×2

2

=

2

，DB1=

12+22

=

5

．
在△DMB₁中，由余弦定理得cos∠DMB₁=

2×( 2 )2-( 5 )2

2× 2 × 2

=-

1

4

．
∵异面直线所成的角为锐角或直角，
∴异面直线AC₁与CB₁所成的夹角的余弦值为

1

4

．

点评：熟练掌握三角形的中位线定理、平行四边形的性质、线面平行的判定定理及异面直线所成的角是解题的关键．