Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=2AA₁，∠ABC=90°，D是BC的中点．
（1）求证：A₁B∥平面ADC₁；
（2）求二面角C₁-AD-C的余弦值；
（3）试问线段A₁B上是否存在点E，使C₁E与平面ADC₁成30°角？若存在，确定E点位置，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用直三棱柱的性质、三角形的中位线定理、线面平行的判定定理即可得出；
（2）由 ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，且∠ABC=90°，故BA，BC，BB₁两两垂直．如图建立空间直角坐标系B-xyz．利用两个平面的法向量的夹角即可得出二面角；
（3）利用线面角的夹角公式即可得出．

解答：（1）证明：连接A₁C，交AC₁于点O，连接OD．
由 ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，得四边形ACC₁A₁为矩形，O为A₁C的中点．
又D为BC中点，∴OD为△A₁BC中位线，
∴A₁B∥OD．
∵OD?平面ADC₁，A₁B?平面ADC₁，∴A₁B∥平面ADC₁．
（2）解：由 ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，且∠ABC=90°，故BA，BC，BB₁两两垂直．
如图建立空间直角坐标B-xyz．
设BA=2，则B（0，0，0），C（2，0，0），A（0，2，0），C₁（2，0，1），D（1，0，0）．
所以 

AD

=(1，-2，0)，

AC1

=(2，-2，1)
设平面ADC₁的法向量为

n

=(x，y，z)，则

n • AD =0 n • AC1 =0

，
所以 

x-2y=0 2x-2y+z=0

，取y=1，得

n

=(2，1，-2)．
易知平面ADC的法向量为

v

=（0，0，1）．
由二面角C₁-AD-C是锐角，得 cos＜

n

，

v

＞=

| n • v |

| n | | v |

=

2

3

．
所以二面角C₁-AD-C的余弦值为

2

3

．
（3）解：假设存在满足条件的点E，设E（0，a，b）．
∵E在线段A₁B上，由

BE

=λ

BA1

且其中0≤λ≤1，

BE

=(0，a，b)

BA1

=(0，2，1)
即（0，a，b）=λ（0，2，1），

a=2λ b=λ

，E（0，2λ，λ）．
∴

C1E

=(-2，2λ，λ-1)，
以由（2）知

n

=(2，1，-2)，∵

C1E

与平面ADC₁成30⁰角，
∴sin300=|cos?

C1E

，

n

＞|=|

C1E • n

| C1E || n |

|=

1

2

．
即|

-4+2λ-2λ+2

4+4λ2+(λ-1)2 • 9

|=

1

2

，|

-2

5λ2-2λ+5 •3

|=

1

2

，
化为45λ²-18λ+29=0，
∵△＜0，∴方程无解．
所以在线段A₁B上不存在点E．

点评：熟练掌握直三棱柱的性质、三角形的中位线定理、线面平行的判定定理、通过建立空间直角坐标系B-xyz并利用两个平面的法向量的夹角求二面角、线面角的夹角公式等是解题的关键．．