Question

设a，b是关于x的一元二次方程x²-2mx+m+6=0的两个实根，则（a-1）²+（b-1）²的最小值是（　　）

• A．-

  49

  4

• B．18
• C．8
• D．-6

Answer 1

分析：根据根与系数的关系利用参数m表示出函数的解析式，根据判别式大于等于0，确定参数m的取值范围，再结合二次函数的图象与性质求出最小值即可．

解答：解：∵方程x²-2mx+m+6=0的两个根为a，b
∴

a+b=2m ab =m+6

，且△=4（m²-m-6）≥0，
∴y=（a-1）²+（b-1）²=（a+b）²-2ab-2（a+b）+2=4m²-6m-10=4(m-

3

4

)2-

49

4

，
且m≥3或m≤-2．
由二次函数的性质知，当m=3时，函数y=4m²-6m-10的取得最小值，最小值为8．
即函数y=（a-1）²+（b-1）²的最小值是8．
故选C．

点评：本题考查的重点是二次函数的最值，考查二次方程根与系数的关系，解题的关键是根据根与系数的关系利用参数m表示出函数的解析式，易错点是忽视参数的范围．