Question

【题目】已知函数，，且曲线与在处有相同的切线.

（Ⅰ）求实数的值；

（Ⅱ）求证：在上恒成立；

（Ⅲ）当时，求方程在区间内实根的个数.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)2.

【解析】

试题分析：

(Ⅰ)函数有相同的切线，则，，据此计算可得；

(Ⅱ)构造函数，令，原问题等价于在上恒成立，讨论函数的单调性可得，即在上恒成立.

(Ⅲ)构造函数，其中，结合导函数讨论函数的单调性有 .构造函数，则在内单调递减，，据此讨论可得在区间内有两个零点，即方程在区间内实根的个数为2.

试题解析：

（Ⅰ）∵，，，

∴.

∵，，

∴，.

∵，即，

∴.

（Ⅱ）证明：设，

.

令，则有.

当变化时，的变化情况如下表：

∴，即在上恒成立.

（Ⅲ）设，其中，

.

令，则有.

当变化时，的变化情况如下表：

∴ .

，

设，其中，则，

∴在内单调递减，，

∴，故，而.

结合函数的图象，可知在区间内有两个零点，

∴方程在区间内实根的个数为2.