Question

【题目】设函数，其中.

（Ⅰ）当时，讨论函数的单调性；

（Ⅱ）若函数仅在处有极值，求的取值范围；

（Ⅲ）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) 在， 内是增函数，在， 内是减函数.

(2) .

(3) .

【解析】(I)当时，直接求导，利用导数大（小）于零，求其单调递增（减）区间即可.

(2)由题意知，显然不是方程的根为使仅在处有极值，必须成立，即有，到此问题基本得以解决.

(3) 由条件，可知，从而恒成立．这样根据可确定其单调增区间为,减区间为.然后通过比较f(-1)和f(1)求出最大值，根据最大值小于或等于1在[-1,1]上恒成立.来建立b与a的不等式，确定出b的范围.

（Ⅰ）．

当时， ．

令，解得， ， ．

当变化时， ， 的变化情况如下表：

		0				2
	－	0	＋	0	－	0	＋
	↘	极小值	↗	极大值	↘	极小值	↗

所以在， 内是增函数，在， 内是减函数．

（Ⅱ）解： ，显然不是方程的根．

为使仅在处有极值，必须成立，即有．

解此不等式，得．这时， 是唯一极值．

因此满足条件的的取值范围是．

（Ⅲ）由条件，可知，从而恒成立．

当时， ；当时， ．

因此函数在上的最大值是与两者中的较大者．

为使对任意的，不等式在上恒成立，当且仅当，

即，在上恒成立．

所以，因此满足条件的的取值范围是．