Question

5．设函数f（x）=ax²+8x-4，对于给定的负数a，有一个最大的正数M（a），使得x∈[0，M（a）]时，不等式|f（x）|≤5恒成立
（1）关于M（a）关于a的表达式；
（2）求M（a）的最大值及相应的a的值．

Answer 1

分析 （1）利用二次函数的性质求出函数的最大值，研究二次函数的最值与5的大小关系，分类讨论，求M（a），（2）由（1）中所得的表达式，求其最值即可．

解答 解：（1）由a＜0，f（x）=a（x+$\frac{4}{a}$）²-4-$\frac{16}{a}$，
当-4-$\frac{16}{a}$＞5，即-$\frac{16}{9}$＜a＜0时，
要使|f（x）|≤5，在x∈[0，M（a）]上恒成立，要使得M（a）最大，
M（a）只能是ax²+8x-4=5的较小的根，即M（a）=$\frac{-\sqrt{16+9a}-4}{a}$；
当-4-$\frac{16}{a}$≤5，即a≤-$\frac{16}{9}$时，
要使|f（x）|≤5，在x∈[0，M（a）]上恒成立，要使得M（a）最大，
M（a）只能是ax²+8x-4=-5的较大的根，即M（a）=$\frac{-4+\sqrt{16-a}}{a}$；
所以M（a）=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{4+\sqrt{16+9a}}{a}，（-\frac{16}{9}＜a＜0）}\\{\frac{-4+\sqrt{16-a}}{a}，（a≤-\frac{16}{9}）}\end{array}\right.$；
（2）当-$\frac{16}{9}$≤a＜0时，M（a）=$\frac{-（\sqrt{16+9a}+4）（\sqrt{16+9a}-4）}{a（\sqrt{16+9a}-4）}$=-$\frac{9}{a（\sqrt{16+9a}-4）}$≤$\frac{9}{4}$；
当a≤-$\frac{16}{9}$时，M（a）=$\frac{（-4+\sqrt{16-a}）（4+\sqrt{16-a}）}{a（\sqrt{16-a}+4）}$=-$\frac{1}{\sqrt{16-a}+4}$≤-$\frac{3}{4\sqrt{10}+12}$；
所以M（a）的最大值为M（-$\frac{16}{9}$）=$\frac{9}{4}$．

点评 本题考查二次函数的性质，求解的关键是正确理解“对于给定的负数a，有一个最大的正数M（a），使得x∈[0，M（a）]，时，恒有|f（x）|≤5”此条件比较抽象，易因为转化不等价导致错误，要根据二次函数的性质与图象好好研究．