Question

16．设偶函数f（x）满足：f（1）=2，且当时xy≠0时，$f（\sqrt{{x^2}+{y^2}}）=\frac{f（x）f（y）}{f（x）+f（y）}$，则f（-5）=$\frac{2}{25}$．

Answer 1

分析 通过计算，确定f（n）=$\frac{2}{{n}^{2}}$，即可得出结论．

解答 解：令x=y=1，可得f（$\sqrt{2}$）=$\frac{f（1）f（1）}{f（1）+f（1）}$=1，∴f（$\sqrt{3}$）=$\frac{f（1）f（\sqrt{2}）}{f（1）+f（\sqrt{2}）}$=$\frac{2×1}{2+1}$=$\frac{2}{3}$
f（2）=$\frac{f（\sqrt{2}）f（\sqrt{2}）}{f（\sqrt{2}）+f（\sqrt{2}）}$=$\frac{1}{2}$，f（$\sqrt{5}$）=$\frac{2}{5}$，f（3）=$\frac{2}{9}$，
∴f（n）=$\frac{2}{{n}^{2}}$
∴f（5）=$\frac{2}{25}$，
∵f（x）是偶函数，
∴f（-5）=f（5）=$\frac{2}{25}$．
故答案为：$\frac{2}{25}$．

点评 本题考查抽象函数，考查赋值法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．