Question

14．若二次函数f（x）满足f（0）=0，f（x+1）=f（x）+x+$\frac{3}{2}$．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（x）在[a，2]（a＜2）上的最大值为M，最小值为m，记g（a）=M-m，求g（a）的表达式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用待定系数法，求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（x）在[a，2]（a＜2）上的最大值为M，最小值为m，分类讨论，即可求g（a）的表达式．

解答 解：（Ⅰ）设f（x）=ax²+bx+c（a≠0），
∵f（0）=0，
∴c=0．
∵f（x+1）=f（x）+x+$\frac{3}{2}$，
∴a（x+1）²+b（x+1）+c=ax²+bx+c+x+$\frac{3}{2}$，
∴2ax+b=x+1，
∴a=$\frac{1}{2}$，b=1，
∴f（x）=$\frac{1}{2}$x²+x；
（Ⅱ）f（x）=$\frac{1}{2}$x²+x的对称轴为x=-1．
当a≤-4时，M=f（a）=$\frac{1}{2}$a²+a，m=f（-1）=-$\frac{1}{2}$；
当-4＜a≤-1时，M=f（2）=4，m=f（-1）=-$\frac{1}{2}$；
当-1＜a＜2时，M=f（2）=4，m=f（a）=$\frac{1}{2}$a²+a，
∴M-m=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}{a}^{2}+a+\frac{1}{2}，a≤-4}\\{\frac{9}{2}，-4＜a≤-1}\\{-\frac{1}{2}{a}^{2}-a+4，-1＜a＜2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查二次函数在闭区间上的最值，着重考查学生分类讨论思想与转化思想的应用，中档题．