Question

已知椭圆C的方程是（a＞b＞0），斜率为1的直线l与椭圆C交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点．
（Ⅰ）若椭圆的离心率，直线l过点M（b，0），且，求椭圆的方程；
（Ⅱ）直线l过椭圆的右焦点F，设向量（λ＞0），若点P在椭圆C上，求λ的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用离心率求得a和b的关系，将直线l的方程代入到椭圆方程则可表示出A，B的坐标，利用推断出cot∠AOB=-tan∠AOx=-，利用题设等式求得b，进而求得a，则椭圆的方程可得．
（2）将y=x-c代入到椭圆方程，进而表示出，进而根据表示出代入椭圆的方程求得λ的表达式，设椭圆的离心率为e，进而根据0＜e＜1求得λ的范围．
解答：解：（1）∵，
∴，将直线l的方程y=x-b代入到椭圆方程x²+4y²=4b²中，
得．又，
∴cot∠AOB=-tan∠AOx=-，从而由，
得
∴b²=4，a²=16即椭圆的方程为：
（2）将y=x-c代入到椭圆方程，
得（b²+a²）x²-2a²cx+a²（c²-b²）=0
，
故∴，
又点P在椭圆上，从而，
化简得，设椭圆的离心率为e，
则0＜e＜1，且，故λ的取值范围为
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生的基本的分析问题的能力和综合运用所学知识的能力．