题目内容

如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是以B为直角顶点的等腰直角三角形，AC=2，BB1=3，D为A1C1的中点，F在线段AA1上，
(Ⅰ)AF为何值时，CF⊥平面B1DF？
(Ⅱ)设AF=1，求平面B1CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值。
解：(Ⅰ)因为直三棱柱ABC-A1B1C1中，
BB1⊥面ABC，∠ABC=，
以B点为原点，BA，BC，BB1分别为x，y，z轴
建立如图所示空间直角坐标系，
因为AC=2，∠ABC=90°，所以，
从而，
，
所以，
设AF=x，则，
，
，
所以，
要使CF⊥平面B1DF，只需CF⊥B1F，
由，得x=1或x=2，
故当AF=1或2时，CF⊥平面B1DF。
(Ⅱ)由(Ⅰ)知平面ABC的法向量为，
设平面B1CF的法向量为n=（x，y，z），
则由，得，
令z=1得，
所以平面B1CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值
。
练习册系列答案
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精英家教网如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=1，CB=
2
，侧棱AA1=1，侧面AA1B1B的两条对角线交于点D，B1C1的中点为M，求证：CD⊥平面BDM．
精英家教网如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC=2a，BB1=3a，D为A1C1的中点，E为B1C的中点．
（1）求直线BE与A1C所成的角；
（2）在线段AA1中上是否存在点F，使CF⊥平面B1DF，若存在，求出|
AF
|；若不存在，说明理由．
精英家教网如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中∠ACB=90°，AA1=2，AC=BC=1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是
 
．
如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=CC1=2，M，N分别为AC，B1C1的中点．
（Ⅰ）求线段MN的长；
（Ⅱ）求证：MN∥平面ABB1A1；
（Ⅲ）线段CC1上是否存在点Q，使A1B⊥平面MNQ？说明理由．
精英家教网如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=a，AA1=2a，D棱B1B的中点．
（Ⅰ）证明：A1C1∥平面ACD；
（Ⅱ）求异面直线AC与A1D所成角的大小；
（Ⅲ）证明：直线A1D⊥平面ADC．

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