Question

已知椭圆中心在原点，上顶点为A（0，1），右焦点为F（1，0），右准线为l，l与x轴交于P点，直线AF交椭圆与点B．
（1）求椭圆的方程；
（2）求证：PF是∠APB的平分线；
（3）在l上任意取一点Q，求证：直线AQ，FQ，BQ的斜率成等差数列．

Answer 1

分析：（1）因为椭圆中心在原点，上顶点为A（0，1），右焦点为F（1，0），所以b=1，c=1，a²=2，由此能求出椭圆的方程．
（2）准线方程为x=2，直线AB的方程：y=-x+1，代入

x2

2

+y2=1，得3x²-4x=0，所以B(

4

3

，-

1

3

)，kAP=-

1

2

，kBP=

0-(- 1 3 )

2- 4 3

=

1

2

=-k_AP，由此能证明PF是∠APB的平分线．
（3）设Q（2，t）（t∈R），kAQ=

t-1

2

，k_FQ=t，kBQ=

t+ 1 3

2- 4 3

=

3t+1

2

，由此能证明直线AQ，FQ，BQ的斜率成等差数列．

解答：（1）解：因为椭圆中心在原点，上顶点为A（0，1），右焦点为F（1，0），
所以b=1，c=1，a²=2，
所以椭圆的方程为

x2

2

+y2=1…（4分）
（2）证明：准线方程为x=2，
∵直线AB过A（0，1），F（1，0）
∴直线AB的方程：y=-x+1，代入

x2

2

+y2=1，
整理，得3x²-4x=0，
解得x=0或x=

4

3

，…（6分）
把x=

4

3

代入

x2

2

+y2=1，得y=±

1

3

，
∴B(

4

3

，-

1

3

)，kAP=-

1

2

，kBP=

0-(- 1 3 )

2- 4 3

=

1

2

=-k_AP，
所以PF是∠APB的平分线．…（10分）
（3）证明：设Q（2，t）（t∈R），
kAQ=

t-1

2

，k_FQ=t，
kBQ=

t+ 1 3

2- 4 3

=

3t+1

2

，
因为kAQ+kBQ=

t-1

2

+

3t+1

2

=2t=2k_FQ，
所以直线AQ，FQ，BQ的斜率成等差数列．…（16分）

点评：本题考查数列与解析几何的综合应用，具体涉及到等差数列的性质，椭圆的基本知识，直线和椭圆的位置关系等知识点，解题时要认真审题，仔细解答，合理地进行等价转化．