Question

已知关于x的方程x²-kx+k+3=0（k∈R）有两个正根，那么这两个根的倒数和的最小值是（　　）

• A．-2
• B．

  2

  3

• C．

  8

  9

• D．1

Answer 1

分析：由关于x的方程x²-kx+k+3=0（k∈R）有两个正根，知△=k²-4（k+3）≥0，即k≥6或k≤-2．由x₁+x₂=k＞0，x₁•x₂=k+3＞0，知k≥6．所以

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1•x2

=

k

k+3

=1-

3

k+3

，由此能导出这两个根的倒数和的最小值是

2

3

．

解答：解：∵关于x的方程x²-kx+k+3=0（k∈R）有两个正根，
∴△=k²-4（k+3）≥0，
∴k≥6或k≤-2．
∵x₁+x₂=k＞0，x₁•x₂=k+3＞0
故：k≥6．
∴

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1•x2

=

k

k+3

=1-

3

k+3

，
∵k≥6，∴k+3≥9
∴0＜

1

k+3

≤

1

9

，
∴-

1

3

≤-

3

3+k

＜0，
∴

2

3

≤1-

3

k+3

＜1．
故：这两个根的倒数和的最小值是

2

3

，
此时x₁=x₂=3，k=6．
故选B．

点评：本题考查根与系数的关系，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．