Question

  (本小题满分12分）

已知椭圆的上、下顶点分别为是椭圆上两个不同的动点.

(I )求直线A₁M与A₂N交点的轨迹C的方程；

(II)若过点F(0，2)的动直线l与曲线C交于A_,B两点，，问在y轴上是否存在定点E使得？若存在，求出E点的坐标；若不存在，说明理由.

 

 

Answer 1

(本小题满分12分)

解：（Ⅰ）方法一：设直线与的交点为，

∵是椭圆的上、下顶点，

∴…………………1分

，，

两式相乘得.………………………3分

而在椭圆（）上，

所以，即，所以.……………4分

又当时，不合题意，去掉顶点.

∴直线与的交点的轨迹的方程是；……………5分

方法二：设直线与的交点为，

∵是椭圆的上、下顶点，

∴…………………1分

∵共线，共线，

∴…………①    

…………②…………………3分

①②得，

又∵即，

∴，即，

∴直线与的交点的轨迹的方程是；（）……………5分

（Ⅱ）假设存在满足条件的直线，由已知，其斜率一定存在，设其斜率为，

设，， ，

由得，

.…………………6分

，

∵，∴，

∵，∴，

∵，，

，

又∵，∴，

∴，

即.………………………8分

将，，代入上式并整理得，…………………9分

当时，，

当时，，恒成立，

…………………11分

所以，

在轴上存在定点，使得，点的坐标为．………12分