Question

已知函数f(x)=log4(4x-1)
（1）判断f（x）的单调性，说明理由．
（2）解方程f（2x）=f^-1（x）．

Answer 1

（1）4^x-1＞0，所以x＞0，所以定义域是（0，+∞），f（x）在（0，+∞）上单调增．
证法一：设0＜x₁＜x₂，则f(x1)-f(x2)=log4(4x1-1)-log4(4x2-1)=log4

4x1-1

4x2-1

又∵0＜x₁＜x₂，∴1＜4x1＜4x2，0＜4x1-1＜4x2-1
∴

4x1-1

4x2-1

＜1，即log4

4x1-1

4x2-1

＜0
∴f（x₁）＜f（x₂），f（x）在（0，+∞）上单调增．…5分
证法二：∵y=log₄x在（0，+∞）上都是增函数，…2分
y=4^x-1在（0，+∞）上是增函数且y=4^x-1＞0…4分
∴f(x)=log4(4x-1)在（0，+∞）上也是增函数． …5分
（2）f-1(x)=log4(4x+1)，
∴f（2x）=f^-1（x），即0＜4^2x-1=4^x+14^2x-4^x-2=0，解得4^x=-1（舍去）或4^x=2，
∴x=log42=

1

2

…9分
经检验，x=

1

2

是方程的根． …10分．