题目内容
设
=(cosx，sinx)，
=(
，-1)
（1）求|2
-
|的最大值及相应x的值；
（2）当
•
=-
，x∈(0，
)时，求cosx的值．
| a |
| b |
| 3 |
（1）求|2
| a |
| b |
（2）当
| a |
| b |
2
| ||
| 5 |
| π |
| 2 |
分析：（1）根据向量模的公式，得出
=1且
=2，再由向量的三角形不等式得|2
-
|≤2
+
，由此不难得到|2
-
|的最大值及相应x的值；
（2）根据向量数量积的运算公式，解出sin（x-
）=
．再利用配角：x=（x-
）+
，并结合两角和的余弦公式即可算出cosx的值．
| |a| |
| |b| |
| a |
| b |
| |a| |
| |b| |
| a |
| b |
（2）根据向量数量积的运算公式，解出sin（x-
| π |
| 3 |
| ||
| 5 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
解答：解：（1）∵
=(cosx，sinx)，
=(
，-1)
∴
=
=1，
=
=2
由此可得|2
-
|≤2
+
=4，
当且仅当2
与
共线且反向时，即
时，等号成立
解之得：x=
+2kπ，k∈Z
综上所述，当x=
+2kπ（k∈Z）时，|2
-
|的最大值为4
（2）
•
=
cosx-sinx=-
∴2sin（x-
）=
，得sin（x-
）=
∵x∈(0，
)，得x-
∈（-
，
）
∴cos（x-
）=
=
由此可得cosx=cos[（x-
）+
]=
•
-
•
=
| a |
| b |
| 3 |
∴
| |a| |
| cos2x+sin2x |
| |b| |
| 3+1 |
由此可得|2
| a |
| b |
| |a| |
| |b| |
当且仅当2
| a |
| b |
|
解之得：x=
| 5π |
| 6 |
综上所述，当x=
| 5π |
| 6 |
| a |
| b |
（2）
| a |
| b |
| 3 |
2
| ||
| 5 |
∴2sin（x-
| π |
| 3 |
2
| ||
| 5 |
| π |
| 3 |
| ||
| 5 |
∵x∈(0，
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
∴cos（x-
| π |
| 3 |
1-sin2(x-
|
2
| ||
| 5 |
由此可得cosx=cos[（x-
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
2
| ||
| 5 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 5 |
| ||
| 2 |
2
| ||||
| 10 |
点评：本题以平面向量数量积的运算为载体，着重考查了三角恒等变形、向量的模及其运算性质等知识，属于中档题．
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