Question

已知长轴在x轴上的椭圆的离心率e=，且过点P（1，1）．
（1）求椭圆的方程；
（2）若点A（x，y）为圆x²+y²=1上任一点，过点A作圆的切线交椭圆于B，C两点，求证：CO⊥OB（O为坐标原点）．

Answer 1

【答案】分析：（1）设椭圆方程，根据e=，可得a²=3b²，利用椭圆过点P（1，1），可得，从而可求椭圆的方程；
（2）由题意可求得切线方程为xx+yy=1．①若y=0，则切线为x=1（或x=-1），求得B、C的坐标，从而可得CO⊥OB；②当y≠0时，切线方程为xx+yy=1，与椭圆联立并化简，利用韦达定理，证明x₁x₂+y₁y₂=0即可．
解答：（1）解：由题意，设椭圆方程为
∵e=，∴，∴a²=3b²
∵椭圆过点P（1，1），∴
∴a²=4，
∴椭圆的方程为；
（2）证明：由题意可求得切线方程为xx+yy=1
①若y=0，则切线为x=1（或x=-1），则B（1，1），C（1，-1），∴CO⊥OB（当x=-1时同理可得）；
②当y≠0时，切线方程为xx+yy=1，与椭圆联立并化简得
∴x₁+x₂=，
设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），则x₁x₂+y₁y₂=
==0
∴CO⊥OB
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查圆的切线方程，考查直线与椭圆的位置关系，联立方程，利用韦达定理是解题的关键．