Question

已知函数f(x)=cos2

x

2

-sin

x

2

cos

x

2

-

1

2

．
（Ⅰ）求函数的最小正周期和值域；
（Ⅱ）求函数取到最大值时的x的取值集合．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式化简函数f（x）的解析式为

2

2

cos(x+

π

4

)，由此求得它的周期．
（Ⅱ）由函数f（x）的解析式可得当x+

π

4

=2kπ时，k∈z，函数取得最大值，由此可得函数取到最大值时的x的取值集合

解答：解：（Ⅰ）f(x)=cos2

x

2

-sin

x

2

cos

x

2

-

1

2

=

1+cosx

2

-

sinx

2

-

1

2

…（2分）
=

cosx-sinx

2

=

2

2

cos(x+

π

4

)．…（4分）
所以T=2π，f(x)∈[-

2

2

，

2

2

]．…（6分）
（Ⅱ）由于函数f（x）=

2

2

cos(x+

π

4

)，故当x+

π

4

=2kπ时，k∈z，即当 x=2kπ-

π

4

时，k∈z，
函数f（x）取得最大值为

2

2

，故有函数取到最大值时的x的取值集合为 {x|x=2kπ-

π

4

时，k∈z}．

点评：本题主要考查二倍角公式、诱导公式的应用，余弦函数的周期性和最大值，属于中档题．