Question

已知锐角△ABC三个内角分别为A，B，C向量

p

=(2-2sinA，cosA+sinA)与向量

q

=(sinA-cosA，1+sinA)是共线向量．
（1）求∠A的值；
（2）求函数y=2sin²B+cos

C-3B

2

的值域．

Answer 1

分析：（1）利用条件及两个向量共线的性质，求得sin²A=

3

4

，可得sinA=

3

2

，从而求得锐角A的值．
（2）利用三角函数的恒等变换化简函数y的解析式为sin（2B-

π

6

）+1，再由B∈（0，

π

2

），B+A＞

π

2

，求得

π

6

＜B＜

π

2

，再根据正弦函数的定义域和值域求得y的值域．

解答：解：（1）∵锐角△ABC中，向量

p

=(2-2sinA，cosA+sinA)与向量

q

=(sinA-cosA，1+sinA)是共线向量，
∴（2-2sinA）（1+sinA）=（cosA+sinA）（sinA-cosA）．
解得sin²A=

3

4

，∴sinA=

3

2

，∴A=

π

3

．
（2）∵函数y=2sin²B+cos

C-3B

2

=2sin²B+cos

2π 3 -B-2B

2

=1-cos2B+cos（

π

3

-2B）=1-cos2B+

1

2

cos2B+

3

2

sin2B
=

3

2

sin2B-

1

2

cos2B+1=sin（2B-

π

6

）+1，
∵B∈（0，

π

2

），B+A＞

π

2

，∴

π

6

＜B＜

π

2

，∴2B-

π

6

∈（

π

6

，

5π

6

），
∴y∈（

3

2

，2]．

点评：本题主要考查两个向量共线的性质，三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．