Question

在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，若

m

=（sin2

B+C

2

，1），

n

=（-2，cos2A+1），且

m

⊥

n

．
（Ⅰ）求角A的度数；
（Ⅱ）当a=2

3

，且△ABC的面积S=

a2+b2-c2

4 3

时，求边c的值和△ABC的面积．

Answer 1

（Ⅰ）△ABC中，由

m

=（sin2

B+C

2

，1），

n

=（-2，cos2A+1），且

m

⊥

n

，
可得

m

•

n

=-2sin2

B+C

2

+cos2A+1=cos（B+C）-1+cos2A+1=2cos²A-cosA-1=（2cosA+1）（cosA-1）=0，
∴cosA=-

1

2

 或cosA=1（舍去），∴A=120°．
（Ⅱ）∵a=2

3

，且△ABC的面积S=

a2+b2-c2

4 3

=

1

2

ab•sinC，由余弦定理可得 cosC=

a2+b2-c2

2ab

，
∴tanC=

3

3

，∴C=30°，∴B=30．
再由正弦定理可得

a

sinA

=

c

sinC

，即

2 3

sin120°

=

c

sin30°

，解得c=2．
∴△ABC的面积S=

1

2

ac•sinB=

1

2

×2

3

×2×

1

2

=

3

．