Question

【题目】已知常数，函数.

(1)讨论在区间上的单调性；

(2)若存在两个极值点，且，求a的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)答案见解析；(2).

【解析】试题分析：

(1)结合函数的解析式可得，分类讨论有：

当时，在区间上单调递增；

当时，在区间上单调递减，

在区间上单调递增；

(2)首先确定，结合题意构造函数，结合函数的性质讨论计算可得a的取值范围是.

试题解析：

（1）

当时，此时，在区间上单调递增

当时，，得

当时，；时，；

故在区间上单调递减，在区间上单调递增

综上所述，当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增

（2）由（1）知，当时，，

此时不存在极值点，因而要使得有两个极值点，必有

又的极值点只可能是，且由的定义域可知

，所以

解得，此时分别是的极小值点和极大值点，而

令由且知时，当，时，

记

当，，所以

因此，在区间上单调递减，从而故当时，

当，，所以

因此，在区间上单调递减，从而

故当时，

综上所述，满足条件的a的取值范围为