Question

【题目】已知函数.

（1）若，求曲线在点处的切线方程；

（2）求函数的单调区间；

（3）设函数.若对于任意，都有成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）见解析（Ⅲ）.

【解析】试题分析：（1）代入，求导，可求出切线方程。（2）因为.又因为，的两根>0,所以分

与与三类讨论单调性。（3）由成立，即，变形.，所以只需。

试题解析：（Ⅰ）函数的定义域为.

当时，.

所以曲线在点处的切线方程为.

（Ⅱ）因为.

令，即，解得，.

（1）当，即时，

由，得或；

由，得.

所以函数的增区间为，减区间为

（2）当，即时，

由，得或；

由，得.

所以函数的增区间为，减区间为.

（3）当，即时，在上恒成立，所以函数的增区间为，无减区间.

综上所述：

当时，函数的增区间为，减区间为；

当时，函数的增区间为，减区间为；

当时，函数的增区间为，无减区间.

（Ⅲ）因为对于任意，都有成立，

则，等价于.

令，则当时，.

因为当时，，所以在上单调递增.

所以.

所以.

所以.