Question

设椭圆的一个顶点与抛物线的焦点重合，分别是椭圆的左、右焦点，且离心率且过椭圆右焦点的直线与椭圆C交于两点.

（1）求椭圆C的方程；

（2）是否存在直线，使得.若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.

（3）若AB是椭圆C经过原点O的弦， MNAB，求证：为定值．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）直线的方程为或（III）略

解析:

(1) 椭圆的顶点为，即，                 1分

，所以，                              2分

椭圆的标准方程为                                3分  

（2）由题可知,直线与椭圆必相交.

设存在直线为，且，.

由得，                     

，，                  5分

              =    7分  

所以，故直线的方程为或           9分

（3）设,

由（2）可得：  |MN|=

          =               11分

由消去y，并整理得： ，

|AB|=，                         13分

∴  为定值                           14分