题目内容

已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与该椭圆相交于P和Q，且OP⊥OQ，|PQ|=，求椭圆的方程．

 

答案：
解析：

设所求椭圆的方程为，依题意知点P、Q的坐标满足方程组：

　　将②代入①式得

　　(a2+b2)x2+2a2x+a2(1-b2)=0得

　　，

　　那么y1y2=x1x2+(x1+x2)+1=．

　　由OP⊥OQ得，即x1x2+y1y2=0，　　　　　　　　　　　　　　　　③

　　则有a2+b2=2a2b2，

　　由|QP|，得3b4-8b2+4=0，

　　得b2=2或b2=，

　　代入③式得或

　　∴　所求椭圆方程为或．

 


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精英家教网已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点．过右焦点F与x轴不垂直的直线l交椭圆于P，Q两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）当直线l的斜率为1时，求△POQ的面积；
（3）在线段OF上是否存在点M（m，0），使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
已知椭圆的中心在坐标原点，且经过点M(1，
2
5
5
)，N(-2，
5
5
)，若圆C的圆心与椭圆的右焦点重合，圆的半径恰好等于椭圆的短半轴长，已知点A（x，y）为圆C上的一点．
（1）求椭圆的标准方程和圆的标准方程；
（2）求
AC
•
AO
+2|
AC
-
AO
|（O为坐标原点）的取值范围；
（3）求x2+y2的最大值和最小值．
已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆上点P(3
2
，4)到两焦点的距离之和是12，则椭圆的标准方程是
 
．
已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，焦距为6
3
，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为12，则椭圆的方程为
x2
36
+
y2
9
=1
x2
36
+
y2
9
=1
．
已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为
2
2
，坐标原点O到过右焦点F且斜率为1的直线的距离为
2
2
．
（1）求椭圆的方程；
（2）设过右焦点F且与坐标轴不垂直的直线l交椭圆于P、Q两点，在线段OF上是否存在点M（m，0），使得以MP、MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

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