题目内容

已知x₁是方程x+lgx=27的解, x₂是方程x+10^x=27的解,则x₁+x₂的值是 .

27

解析:方程x+lgx=27可化为lgx=27-x,

方程x+10^x=27可化为10^x=27-x.

令f(x)=lgx,g(x)=10^x,h(x)=27-x.如下图.

显然,x₁是y=f(x)与y=h(x)的交点P的横坐标, x₂是y=g(x)与y=h(x)的交点Q的横坐标.

由于y=f(x)与y=g(x)的图象关于y=x对称,直线y=27-x也关于y=x对称,且直线y=27-x与它们都只有一个交点,故这两个交点关于y=x对称.

又P、Q的中点是y=x与y=27-x的交点,即(,),∴x₁+x₂=27.

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时，f（x）取得极小值

．
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（2）设直线l：y=g（x），曲线S：y=F（x）．若直线l与曲线S同时满足下列两个条件：
①直线l与曲线S相切且至少有两个切点；
②对任意x∈R都有g（x）≥F（x）．则称直线l为曲线S的“上夹线”．
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②对任意x∈R都有g（x）≥F（x）．则称直线l为曲线S的“上夹线”．
试证明：直线l：y=x+2是曲线S：y=ax+bsinx的“上夹线”．
（3）记 $数学公式$ ，设x₁是方程h（x）-x=0的实数根，若对于h（x）定义域中任意的x₂、x₃，当|x₂-x₁|＜1，且|x₃-x₁|＜1时，问是否存在一个最小的正整数M，使得|h（x₃）-h（x₂）|≤M恒成立，若存在请求出M的值；若不存在请说明理由．

已知函数f（x）=x²-ax+4+2lnx
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如图，已知点M（x，y）是椭圆C：

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