Question

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都为2，D为CC₁的中点．
（1）求证：AB₁⊥平面A₁BD；
（2）求三棱锥B-A₁B₁D的体积．

Answer 1

分析：（1）取BC中点E，连接B₁E，证明BD⊥平面AEB₁，得BD⊥AB₁，由直线与平面垂直的判定定理，可得所证结论．
（2）连接B₁D，则三棱锥B-A₁B₁D的体积可以通过求三棱锥A₁-B₁DB的体积得到．

解答：（1）证明：由正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都相等可知：AB₁⊥A₁B
如图，取BC的中点E，连接B₁E，则Rt△BCD≌Rt△B₁BE
∴∠BB₁E=∠CBD
∴∠CBD+∠BEB₁=∠BB₁E+∠BEB₁=90°
∴BD⊥B₁E
由平面ABC⊥平面BCC₁B₁，平面ABC∩平面BCC₁B₁=BC，且AE⊥BC得，AE⊥平面BCC₁B₁
∴AE⊥BD
∵B₁E?平面AEB₁，AE?平面AEB₁，AE∩B₁E=E
∴BD⊥平面AEB₁
∴BD⊥AB₁
∵A₁B?平面A₁BD，BD?平面A₁BD，A₁B∩BD=B
∴AB₁⊥平面A₁BD
（2）解：连接B₁D，由AA₁∥平面BCC₁B₁
所以点A₁到平面BCC₁B₁的距离，等于AE=

AB2-BE2

=

22-12

=

3

S△BDB1=

1

2

S正方形BCC1B1=

1

2

×2×2=2
∴VB-A1B1D=VA1-BDB1=

1

3

×S△BDB1×AE=

1

3

×2×

3

=

2 3

3

故三棱锥B-A₁B₁D的体积为

2 3

3

．

点评：本题主要考查了线面垂直的判定定理、几何体体积的求法，解题过程中要注意各种位置关系的相互转化以及数量关系的求解．