Question

已知f（x）是定义在[－1，1]上的奇函数．当a、b∈[－1，1]，且a＋b≠0时，有．

（Ⅰ）判断函数f（x）的单调性，并给以证明；

（Ⅱ）若f（1）＝1且f（x）≤－2bm＋1对所有x∈[－1，1]，b∈[－1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

 

Answer 1

答案：
解析：

解：（Ⅰ）证明：设，且，在中， 令，，有， ∵  ，∴     又∵  f（x）是奇函数，∴  ∴  　     　∴  ，即， 故f（x）在[－1，1]上为增函数． 　　（Ⅱ）解：∵  且f（x）在[－1，1]上为增函数， 对x∈[－1，1]，有f（x）≤f（1）＝1． 由题意，对所有的x∈[－1，1]，b∈[－1，1]，恒成立，应有． 　　      记，对所有b∈[－1，1]，g（b）≥0成立． 只需g（b）在[－1，1]上的最小值不小于零． 　　      若m＞0时，g（b）＝是减函数， 故在[－1，1]上，b＝1时有最小值， 且； 　　      若m＝0时，g（b）＝0这时满足已知，故m＝0； 若m＜0时，是增函数，故在[－1，1]上， b＝－1时有最小值，且． 　　      综上可知，符合条件的m的取值范围是：．