Question

11．已知集合A={y|y=log₂（-x²+2x+3），x∈（1-$\sqrt{3}$，2）}，B={x||2^x-3|-2^-xlog_a（2a²-1）≥0}．
（1）求集合A；
（2）求实数a的取值范围，使得A∩B=∅．

Answer 1

分析 （1）根据对数函数的性质进行求解即可求集合A；
（2）若A∩B=∅．等价为当0＜x≤2时，2^x•|2^x-3|≥log_a（2a²-1）恒不成立，构造函数，求函数的最值即可．

解答 解：y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∵x∈（1-$\sqrt{3}$，2），
∴y∈（1，4]，
则A={y|y=log₂（-x²+2x+3），x∈（1-$\sqrt{3}$，2）}={y|y∈（0，2]}．
（2）由|2^x-3|-2^-xlog_a（2a²-1）≥0得2^x•|2^x-3|≥log_a（2a²-1），
若A∩B=∅．
则当0＜x≤2时，2^x•|2^x-3|≥log_a（2a²-1）不成立，
设f（x）=2^x•|2^x-3|，
当2^x-3≥0，即x≥log₂3时，f（x）=2^x•（2^x-3）=（2^x-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{9}{4}$，
此时当x=2时，函数取得最大值为f（2）=4，
当2^x-3＜0，即x＜log₂3时，f（x）=-2^x•（2^x-3）=-（2^x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
此时当2^x=$\frac{3}{2}$时，函数取得最大值$\frac{9}{4}$，
综上当0＜x≤2时，0≤f（x）≤2，
若当0＜x≤2时，2^x•|2^x-3|≥log_a（2a²-1）恒不成立，
则log_a（2a²-1）＞2，
若a＞1，则2a²-1＞a²，即a²＞1，解得a＞1或a＜-1（舍），
若0＜a＜1，则0＜2a²-1＜a²，即$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}＞\frac{1}{2}}\\{{a}^{2}＜1}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{a＞\frac{\sqrt{2}}{2}或a＜-\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{-1＜a＜1}\end{array}\right.$，解得$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜a＜1，
综上a＞1或$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜a＜1．

点评 本题主要考查集合的基本运算以及集合关系的应用，利用构造函数法是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．