Question

已知p：

x-5

x-3

≥2，q：x2-ax≤x-a，若?q是?p的必要而不充分条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：若p真，解分式不等式求出集合A，若q真，解一元二次不等式求出B，由条件推出 B?A，进而得到a=1，或

a＞1 a＜3

，或

a＜1 a∈∅

，由此求得实数a的取值范围．

解答：解：若p真，由

x-5

x-3

≥2⇒1≤x＜3，A=[1，3）．…（3分）
若q真，则（x-a）（x-1）≤0，记解集为B；当a=1时，B={1}．
当a＞1时，B=[1，a]；当a＜1时，B=[a，1]…（9分）
∵?q是?p的必要而不充分条件，∴?p⇒?q，即q⇒p，∴B?A．
∴a=1，或

a＞1 a＜3

，或 

a＜1 a∈∅

，
解得1≤a＜3，故a的取值范围是[1，3）．…（13分）

点评：本题主要考查分式不等式的解法，充分条件、必要条件、充要条件的定义和判断方法，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．