Question

已知函数y=log₂（1-x）的图象上两点B、C的横坐标分别为a-2，a，其中a≤0．又A（a-1，0），求△ABC面积的最小值及相应的a的值．

Answer 1

分析：解法一：S_△ABC=S_梯形BB'C'C-S_△ABB'-S_△ACC'，将已知中各点坐标代入，可得△ABC面积的解析式，进而根据对数函数的单调性，二次函数的图象和性质，得到△ABC面积的最小值及相应的a的值．
解法二：过A作L平行于y轴交BC于D，根据梯形的中位线定理可得，D是BC中点，由S_△ABC=S_△ADC+S_△ADB=|AD|可得△ABC面积的解析式，进而根据对数函数的单调性，二次函数的图象和性质，得到△ABC面积的最小值及相应的a的值．

解答：解：如图

解法一：
S_△ABC=S_梯形BB'C'C-S_△ABB'-S_△ACC'
=

1

2

[log2(3-a)+log2(1-a)]•2-

1

2

log2(3-a)•1-

1

2

log2(1-a)•1
=

1

2

[log2(3-a)+log2(1-a)]
=

1

2

log2(a2-4a+3)
又a≤0，
故当a=0时，(S△ABC)min=

1

2

log23
解法二：
过A作L平行于y轴交BC于D，由于A是B'C'中点
∴D是BC中点
∴S_△ABC=S_△ADC+S_△ADB
=

1

2

|AD|•1+

1

2

|AD|•1=|AD|
∵|AD|=

yB+yC

2

=

1

2

[log2(3-a)+log2(1-a)]
=

1

2

log2(a2-4a+3)
又a≤0，
故当a=0时，(S△ABC)min=

1

2

log23

点评：本题考查的知识点是对数函数的单调性，二次函数的图象和性质，复合函数的单调性，其中根据已知求出△ABC面积的解析式，是解答的关键．